实数集的完备性：七个等价表述及其证明

2026-04-09 数学 #实分析 #完备性约 86 分钟 · 29959 字

一、完备性的直观理解

实数系的完备性（Completeness）是指实数轴上没有空洞。直观地说：

有理数系 $\mathbb{Q}$ 不完备 例如 $\sqrt{2}$ 不是有理数，有理数轴上存在空洞
实数系 $\mathbb{R}$ 完备 任何应该存在的数都确实存在

完备性有多种等价表述形式，它们在数学分析中各有重要应用。

二、七个等价表述

表述一：戴德金分割原理（Dedekind Completeness）

Definition 1（戴德金分割） 集合 $S$ 的一个分割是指将 $S$ 分成两个非空子集 $(A, B)$ ，且满足：

$A \cup B = S$ ， $A \cap B = \varnothing$ ；
$\forall a \in A, \forall b \in B$ ，有 $a < b$ 。

Theorem 1（戴德金分割原理） 对实数集 $\mathbb{R}$ 的任意分割 $(A, B)$ ，存在唯一的实数 $c$ ，使得下列两种情况之一成立：

$A=(-\infty,c), B=[c,\infty)$ ；
$A=(-\infty,c], B=(c,\infty)$ 。

也就是说，任一戴德金分割都由某个实数 $c$ 所决定。

表述二：确界原理（Least Upper Bound Property）

Theorem 2（确界原理） 设非空集合 $S\subseteq \mathbb{R}$ 存在上界，即

(1)

则存在实数 $s\in\mathbb{R}$ ，满足：

$\forall x\in S,\ x\le s$ ；
$\forall M\in\mathbb{R}$ ，若 $\forall x\in S,\ x\le M$ ，则 $s\le M$ 。

称 $s$ 为 $S$ 的最小上界，记为 $s=\sup S$ 。

表述三：单调有界原理 (Monotone Convergence Principle)

Theorem 3（单调有界原理） 设实数列 $\lbrace x_n \rbrace$ 单调递增，即

(2)

且有上界，即

(3)

则存在 $x\in\mathbb{R}$ ，使得

(4)

类似地，单调递减且有下界的数列也必收敛。

表述四：区间套定理 (Nested Interval Theorem)

Theorem 4（区间套定理） 设 $\lbrace [a_n,b_n]\rbrace _{n\ge 1}$ 为一列非空闭区间，满足

(5)

则有

。 (6)

若进一步满足

(7)

则存在唯一的 $x\in\mathbb{R}$ ，使得

(8)

表述五：有限覆盖定理 (Heine–Borel Finite Cover Theorem)

Definition 2（覆盖） 设 $X\subseteq \mathbb{R}$ ，若集合族 $\lbrace U_\lambda\rbrace _{\lambda\in\Lambda}$ 满足

(9)

则称 $\lbrace U_\lambda\rbrace _{\lambda\in\Lambda}$ 为 $X$ 的一个覆盖（cover）。

进一步，若任取 $\lambda\in\Lambda$ ， $U_\lambda$ 都是开集，则称其为 $X$ 的一个开覆盖（open cover）。

Theorem 5 (Heine–Borel) 设 $[a,b]\subseteq \mathbb{R}$ 为闭有界区间， $\lbrace U_\lambda\rbrace _{\lambda\in\Lambda}$ 为其一个开覆盖，则存在有限个下标 $\lambda_1,\dots,\lambda_m\in\Lambda$ ，使得

(10)

也就是说，闭区间的每个开覆盖都有一个有限子覆盖。

表述六：柯西收敛准则 (Cauchy Convergence Principle)

Definition 3（柯西列） 若实数列 $\lbrace x_n \rbrace$ 满足

(11)

则称 $\lbrace x_n \rbrace$ 为柯西列。

Theorem 6（柯西收敛准则） 设实数列 $\lbrace x_n \rbrace$ 为柯西列，则存在 $x\in\mathbb{R}$ ，使得

(12)

表述七：聚点定理 (Bolzano–Weierstrass Property)

Definition 4（聚点） 设 $E\subseteq \mathbb{R}$ ，若存在 $x\in\mathbb{R}$ 满足

(13)

则称 $x$ 为集合 $E$ 的一个聚点。

Theorem 7.1（聚点定理） 设 $E\subseteq \mathbb{R}$ 为有界无限集，则存在 $x\in\mathbb{R}$ ，使得 $x$ 是 $E$ 的一个聚点。

即 $\mathbb{R}$ 中每个有界无限子集至少有一个聚点。

Theorem 7.2 (Bolzano–Weierstrass) 设实数列 $\lbrace x_n \rbrace$ 有界，即

(14)

则存在严格递增的自然数列 $\lbrace n_k \rbrace$ 以及 $x\in\mathbb{R}$ ，使得

(15)

即任意有界实数列都有收敛子列。

三、等价性证明

3.1. 戴德金分割原理 $\iff$ 确界原理

Proof（Theorem 1 $\Rightarrow$ Theorem 2） 设 $S\subseteq\mathbb{R}$ 非空且有上界。定义

(16)

我们证明 $(A,B)$ 构成 $\mathbb{R}$ 的一个戴德金分割。

首先， $A\neq\varnothing$ 。因为 $S\neq\varnothing$ ，任取 $s_0\in S$ ，则 $s_0\le s_0$ ，故 $s_0\in A$ 。

其次， $B\neq\varnothing$ 。因为 $S$ 有上界，存在 $M\in\mathbb{R}$ 使得 $\forall s\in S,\ s\le M$ ，于是 $M+1\in B$ 。

再证 $A\cup B=\mathbb{R}$ 。任取 $x\in\mathbb{R}$ 。若 $x\notin B$ ，则“ $\forall s\in S,\ s<x$ ”不成立，从而存在 $s\in S$ 使得 $x\le s$ ，故 $x\in A$ 。因此 $A\cup B=\mathbb{R}$ 。

再证 $A\cap B=\varnothing$ 。若 $x\in A\cap B$ ，则一方面由 $x\in A$ ，存在 $s\in S$ 使得 $x\le s$ ；另一方面由 $x\in B$ ，对任意 $s\in S$ 都有 $s<x$ 。两者矛盾。故 $A\cap B=\varnothing$ 。

最后，若 $a\in A,\ b\in B$ ，则由 $a\in A$ ，存在 $s\in S$ 使得 $a\le s$ ；又由 $b\in B$ ，有 $s<b$ 。于是

(17)

从而 $a<b$ 。

故 $(A,B)$ 满足戴德金分割原理。由 Theorem 1，存在唯一的 $c\in\mathbb{R}$ ，使得下列两种情况之一成立：

$A=(-\infty,c),\ B=[c,+\infty)$ ；
$A=(-\infty,c],\ B=(c,+\infty)$ 。

下面证明 $c=\sup S$ 。

先证 $c$ 是 $S$ 的上界。

若不然，则存在 $s_0\in S$ 使得 $s_0>c$ 。由于 $s_0\le s_0$ ，按 $A$ 的定义有 $s_0\in A$ 。但无论上面两种情形中的哪一种， $A$ 中元素都必不大于 $c$ ，这与 $s_0>c$ 矛盾。故 $\forall s\in S,\ s\le c$ 。

再证 $c$ 是最小上界。

任取任意上界 $M$ ，即满足 $\forall s\in S,\ s\le M$ 。若 $M<c$ ，则由分割的结构知 $M\in A$ 。由 $A$ 的定义，存在 $s\in S$ 使得 $M\le s$ 。这与 $M$ 是上界矛盾（因为上界要求所有 $s\in S$ 都满足 $s\le M$ ，于是只能有 $s=M$ ；但若 $M<c$ 且是上界，则按 $B$ 的定义应有 $M\in B$ ，与 $M\in A$ 矛盾）。因此 $c\le M$ 。

故 $c$ 是 $S$ 的最小上界，即

(18)

确界原理得证。

Proof（Theorem 2 $\Rightarrow$ Theorem 1） 设 $(A,B)$ 是实数集 $\mathbb{R}$ 的一个分割，满足：

$A\neq\varnothing,\ B\neq\varnothing$ ；
$A\cup B=\mathbb{R},\ A\cap B=\varnothing$ ；
$\forall a\in A,\ \forall b\in B,\ a<b$ 。

由 $B\neq\varnothing$ ，任取 $b_0\in B$ 。对任意 $a\in A$ ，由分割条件有 $a<b_0$ ，故 $b_0$ 是 $A$ 的一个上界。又因 $A\neq\varnothing$ ，根据确界原理， $A$ 存在最小上界，记

(19)

下面证明此时必有下列两种情况之一成立：

$A=(-\infty,c),\ B=[c,+\infty)$ ；
$A=(-\infty,c],\ B=(c,+\infty)$ 。

首先证明：若 $x<c$ ，则 $x\in A$ 。
若 $x<c$ 但 $x\notin A$ ，则因 $A\cup B=\mathbb{R}$ 且 $A\cap B=\varnothing$ ，必有 $x\in B$ 。于是对任意 $a\in A$ ，都有 $a<x$ 。这说明 $x$ 是 $A$ 的一个上界。但 $x<c=\sup A$ ，与 $c$ 为最小上界矛盾。故必有 $x\in A$ 。因此

(20)

其次证明：若 $x>c$ ，则 $x\in B$ 。
若 $x>c$ 且 $x\notin B$ ，则必有 $x\in A$ 。但 $x\in A$ 且 $x>c$ 与 $c$ 是 $A$ 的上界矛盾。故必有 $x\in B$ 。因此

(21)

再看点 $c$ 本身。由于 $A\cup B=\mathbb{R}$ 且 $A\cap B=\varnothing$ ，故必有且仅有一种情形成立：

若 $c\in A$ ，则结合上面的结论可得

(22)

若 $c\in B$ ，则结合上面的结论可得

(23)

故存在实数 $c$ 使得分割恰好由 $c$ 决定。

最后证明唯一性。若另有 $d\in\mathbb{R}$ 也满足同样性质，则由对应的左、右半轴表示立刻得到同一个分割只能对应同一个分界点；否则若 $c<d$ ，则可取 $x$ 满足 $c<x<d$ ，这将导致 $x$ 同时落入不一致的部分，矛盾。同理不可能 $d<c$ 。故 $c=d$ 。

因此戴德金分割原理成立。

3.2. 确界原理 $\iff$ 单调有界原理

Proof（Theorem 2 $\Rightarrow$ Theorem 3） 设实数列 $\lbrace x_n \rbrace$ 单调递增且有上界。记

(24)

则 $S\neq\varnothing$ ，且 $S$ 有上界。由确界原理，存在

(25)

下面证明

(26)

任取 $\varepsilon>0$ 。由于 $x=\sup S$ ，故 $x-\varepsilon$ 不可能是 $S$ 的上界；否则由最小上界的定义应有

(27)

矛盾。因此存在某个 $N\in\mathbb{N}$ ，使得

(28)

又由于 $\lbrace x_n \rbrace$ 单调递增，所以对任意 $n\ge N$ ，有

(29)

于是

(30)

因此

(31)

故单调递增有上界的数列必收敛。

对于单调递减且有下界的情形，可类似证明，或对数列 $\lbrace -x_n \rbrace$ 应用上面的结论。故 Theorem 3 成立。

Proof（Theorem 3 $\Rightarrow$ Theorem 2） 设 $S\subseteq\mathbb{R}$ 非空且有上界。我们证明 $S$ 在 $\mathbb{R}$ 中存在最小上界。

任取 $a_1\in S$ ，再取一个上界 $b_1$ ，于是

(32)

下面用二分法构造两个数列 $\lbrace a_n\rbrace$ 与 $\lbrace b_n\rbrace$ ，使得对每个 $n\ge 1$ 都满足：

$a_n\in S$ ；
$b_n$ 是 $S$ 的上界；
$a_n\le b_n$ ；
区间 $[a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq [a_n,b_n]$ ；

(33)

已知 $a_n,b_n$ 后，令

(34)

分两种情形：

若 $m_n$ 是 $S$ 的上界，则令

(35)

若 $m_n$ 不是 $S$ 的上界，则存在 $s\in S$ 使得

(36)

取这样的一个 $s$ 作为 $a_{n+1}$ ，并令

(37)

于是上述 1–5 都成立。特别地， $\lbrace a_n\rbrace$ 单调递增， $\lbrace b_n\rbrace$ 单调递减，并且

(38)

由于 $\lbrace a_n\rbrace$ 单调递增且有上界 $b_1$ ，由单调有界原理，存在 $x\in\mathbb{R}$ 使得

(39)

再由

(40)

可得

(41)

下面证明 $x=\sup S$ 。

先证 $x$ 是 $S$ 的上界。任取 $s\in S$ 。对每个 $n$ ，由于 $b_n$ 是 $S$ 的上界，故

(42)

令 $n\to\infty$ ，由 $b_n\to x$ 得

(43)

因此 $x$ 是 $S$ 的上界。

再证 $x$ 是最小上界。任取任意上界 $M$ 。由于对每个 $n$ 都有 $a_n\in S$ ，故

(44)

令 $n\to\infty$ ，由 $a_n\to x$ 得

(45)

因此 $x$ 不大于任意上界，即 $x$ 是最小上界。

故

(46)

确界原理得证。

3.3. 单调有界原理 $\iff$ 区间套定理

Proof（Theorem 3 $\Rightarrow$ Theorem 4） 设 $\lbrace [a_n,b_n]\rbrace _{n\ge 1}$ 为一列非空闭区间，且满足

(47)

于是

(48)

因此，数列 $\lbrace a_n\rbrace$ 单调递增，且对任意 $n$ 都有 $a_n\le b_1$ ，故 $\lbrace a_n\rbrace$ 有上界。由单调有界原理，存在 $a\in\mathbb{R}$ ，使得

(49)

下面证明

(50)

任取固定的 $n\in\mathbb{N}$ 。由于 $(a_k)$ 单调递增，故对任意 $k\ge n$ 都有

(51)

令 $k\to\infty$ ，得

(52)

另一方面，由区间套关系知，对任意 $k\ge n$ ，都有

(53)

令 $k\to\infty$ ，得

(54)

于是

(55)

由于 $n$ 任意，故

(56)

因此

(57)

从而

(58)

若进一步满足

(59)

则证明交集只有一个点。事实上，若

(60)

则对任意 $n$ 都有

(61)

故

(62)

令 $n\to\infty$ ，得

(63)

即 $x=y$ 。故此时

(64)

恰有一个元素。

Proof（Theorem 4 $\Rightarrow$ Theorem 3） 先证明单调递增且有上界的情形。设实数列 $\lbrace x_n \rbrace$ 满足

(65)

且存在 $M\in\mathbb{R}$ 使得

(66)

对每个 $n\ge 1$ ，令

(67)

由于 $\lbrace x_n \rbrace$ 单调递增，故

(68)

从而

(69)

于是 $\lbrace I_n\rbrace _{n\ge 1}$ 构成一列区间套。由区间套定理，

(70)

任取

(71)

则对任意 $n$ 都有

(72)

特别地， $x$ 是数列 $\lbrace x_n \rbrace$ 的一个上界。

下面证明

(73)

任取 $\varepsilon>0$ 。由于 $x-\varepsilon<x$ ，而 $x$ 属于所有区间 $[x_n,M]$ 的交，故不可能对所有 $n$ 都有

(74)

否则便有

(75)

矛盾。因此存在 $N\in\mathbb{N}$ ，使得

(76)

由单调递增性知，对任意 $n\ge N$ ，

(77)

于是

(78)

因此

(79)

再证明单调递减且有下界的情形。若 $\lbrace x_n \rbrace$ 单调递减且有下界，则数列 $\lbrace -x_n \rbrace$ 单调递增且有上界。由刚才已证结论，存在 $y\in\mathbb{R}$ ，使得

(80)

于是

(81)

故单调递减且有下界的数列也收敛。

因此，单调有界原理成立。

3.4. 区间套定理 $\iff$ 有限覆盖定理

Proof（Theorem 4 $\Rightarrow$ Theorem 5） 设闭区间 $[a,b]\subseteq \mathbb{R}$ 的一个开覆盖

(82)

其中每个 $U_\lambda$ 都是开集。下面证明其中存在有限子覆盖。

采用反证法。假设不存在有限子覆盖。令

(83)

由于 $I_1$ 不能被有限多个 $U_\lambda$ 所覆盖，将 $I_1$ 二等分为

(84)

若这两个闭区间都能被有限多个 $U_\lambda$ 所覆盖，则 $I_1$ 也能被有限多个 $U_\lambda$ 所覆盖，这与假设矛盾。因此，至少有一个不能被有限多个 $U_\lambda$ 所覆盖。记这样的区间为 $I_2$ 。

递归地，已构造出闭区间

(85)

且 $I_n$ 不能被有限多个 $U_\lambda$ 所覆盖。将 $I_n$ 二等分为两个闭区间。与上面相同的理由可知，其中至少有一个也不能被有限多个 $U_\lambda$ 所覆盖。记该区间为

(86)

于是得到一列闭区间，满足

(87)

并且

(88)

因此

(89)

由区间套定理，存在唯一的点

(90)

由于 $\lbrace U_\lambda\rbrace _{\lambda\in\Lambda}$ 覆盖 $[a,b]$ ，故存在某个 $\lambda_0\in\Lambda$ 使得

(91)

又因为 $U_{\lambda_0}$ 是开集，所以存在 $\varepsilon>0$ 使得

(92)

另一方面，由于 $b_n-a_n\to 0$ 且 $x\in I_n$ ，存在 $N\in\mathbb{N}$ ，使得

(93)

于是 $I_N$ 可被一个开集 $U_{\lambda_0}$ 覆盖，从而当然可被有限多个 $U_\lambda$ 所覆盖，这与 $I_N$ 的构造性质矛盾。

矛盾表明原假设不成立。因此， $[a,b]$ 的任意开覆盖都存在有限子覆盖。

Proof（Theorem 5 $\Rightarrow$ Theorem 4） 设 $\lbrace [a_n,b_n]\rbrace _{n\ge 1}$ 为一列非空闭区间，满足

(94)

下面证明

(95)

采用反证法。假设

(96)

令

(97)

对每个 $n\ge 1$ ，定义

(98)

由于 $[a_n,b_n]$ 是闭集，故 $U_n$ 是开集。

下面证明 $\lbrace U_n\rbrace _{n\ge 1}$ 构成 $I_1$ 的一个开覆盖。任取 $x\in I_1$ 。由假设

(99)

故存在某个 $n$ ，使得

(100)

于是

(101)

因此

(102)

所以 $\lbrace U_n\rbrace _{n\ge 1}$ 的确是 $I_1$ 的一个开覆盖。

由有限覆盖定理，存在有限个指标 $n_1,\dots,n_m$ ，使得

(103)

设

(104)

由于闭区间是套缩的，即

(105)

两边取补可得

(106)

因此

(107)

于是

(108)

这显然不可能，因为 $[a_N,b_N]$ 非空。

矛盾表明假设不成立，从而

(109)

若进一步满足

(110)

则证明交集中元素唯一。设

(111)

则对任意 $n$ ，都有

(112)

从而

(113)

令 $n\to\infty$ ，得

(114)

故 $x=y$ 。因此

(115)

恰含一个点。

3.5. 有限覆盖定理 $\iff$ 柯西收敛准则

Proof（Theorem 5 $\Rightarrow$ Theorem 6） 设实数列 $\lbrace x_n \rbrace$ 为柯西列，即

(116)

下面证明 $\lbrace x_n \rbrace$ 收敛。

首先证明 $\lbrace x_n \rbrace$ 有界。取 $\varepsilon=1$ ，则存在 $N\in\mathbb{N}$ ，使得对任意 $m,n\ge N$ ，

(117)

固定一个 $m=N$ ，则对任意 $n\ge N$ ，

(118)

从而

(119)

再令

(120)

则

(121)

故数列 $\lbrace x_n \rbrace$ 有界，即其值域集合

(122)

是有界集。

分两种情形讨论。

情形 1 集合 $E$ 有限。

此时数列 $\lbrace x_n \rbrace$ 只取有限个值。由于 $\lbrace x_n \rbrace$ 是柯西列，下面证明它必最终恒定。

若不然，则存在两个不同的值 $a,b\in E$ ，满足 $a\neq b$ ，并且对任意 $N\in\mathbb{N}$ ，在指标大于等于 $N$ 的项中仍能同时取到值 $a$ 与 $b$ 。令

(123)

由柯西性，存在 $N\in\mathbb{N}$ ，使得对任意 $m,n\ge N$ ，

(124)

但按假设，可取 $m,n\ge N$ 使得 $x_m=a,\ x_n=b$ ，于是

(125)

矛盾。故 $\lbrace x_n \rbrace$ 从某一项起恒等于某个常数，因此收敛。

情形 2 集合 $E$ 无限。

由于 $E$ 有界且无限，下面在闭区间

(126)

上构造一个开覆盖。对每个 $k\in\mathbb{N}$ ，令

(127)

每个 $U_k$ 都是开集。

下面证明 $\lbrace U_k\rbrace _{k\ge 1}$ 覆盖 $E$ 。任取 $x\in E$ ，则存在某个 $j\in\mathbb{N}$ 使得 $x=x_j$ 。对任意 $k\ge j$ ，都有

(128)

故

(129)

进一步考虑开集族

(130)

这是一族开集，并且覆盖闭区间 $[-M,M]$ ，因为对任意 $x\in[-M,M]$ ：

若 $x\notin E$ ，则 $x\in \mathbb{R}\setminus E$ ；
若 $x\in E$ ，则 $x\in U_k$ 对某个 $k$ 成立。

于是

(131)

由有限覆盖定理，存在正整数 $k_1,\dots,k_r$ ，使得

(132)

令

(133)

由于当 $k\le K$ 时有

(134)

故

(135)

另一方面，对任意 $x\in E$ ，由上式覆盖关系知 $x\notin \mathbb{R}\setminus E$ ，故必有

(136)

又因为对每个 $i$ 都有 $U_K\subseteq U_{k_i}$ 未必成立，但由 $k_i\le K$ 可知

(137)

因此不能直接比较包含关系。故改取

(138)

由柯西性，存在 $N\in\mathbb{N}$ ，使得对任意 $m,n\ge N$ ，

(139)

于是尾项集合

(140)

的直径小于 $1/K'$ 。因此其闭包 $\overline{E_N}$ 仍为有界集。记

(141)

若能证明 $F$ 有聚点 $x$ ，则由柯西性可推出 $x_n\to x$ 。下面说明这一点：

任取 $\varepsilon>0$ ，取 $N_1$ 使得

(142)

再由柯西性取 $N_2$ ，使得当 $m,n\ge N_2$ 时，

(143)

取 $n_0\ge \max\lbrace N,N_1,N_2\rbrace$ 。若 $x$ 是尾集 $\lbrace x_n\mid n\ge n_0\rbrace$ 的聚点，则存在 $m\ge n_0$ 使得

(144)

于是对任意 $n\ge n_0$ ，

(145)

因此 $x_n\to x$ 。

所以下面只需证明：任一有界无限集存在聚点。为此，对闭区间 $[-M,M]$ 作如下反证。假设 $E$ 没有聚点，则对每个 $x\in[-M,M]$ ，存在 $\varepsilon_x>0$ ，使得

(146)

记

(147)

则 $\lbrace V_x\mid x\in[-M,M]\rbrace$ 是 $[-M,M]$ 的一个开覆盖。由有限覆盖定理，存在有限子覆盖

(148)

而每个 $V_{x_i}$ 至多含有 $E$ 的一个点；否则若包含两个不同点 $y,z\in E$ ，则它们都属于

(149)

与该邻域中除 $x_i$ 外不含 $E$ 中其他点矛盾。于是 $E$ 至多有限，这与情形 2 中 $E$ 无限矛盾。

故 $E$ 必有聚点。由上面的论证，柯西列 $\lbrace x_n \rbrace$ 收敛。

Proof（Theorem 6 $\Rightarrow$ Theorem 5） 下面由柯西收敛准则推出有限覆盖定理。

设 $[a,b]\subseteq \mathbb{R}$ ，且 $\lbrace U_\lambda\rbrace _{\lambda\in\Lambda}$ 是它的一个开覆盖，即

(150)

其中每个 $U_\lambda$ 都是开集。下面证明它存在有限子覆盖。

采用反证法。

假设不存在有限子覆盖。将区间 $[a,b]$ 二等分，则至少有一个半区间不能被有限多个 $U_\lambda$ 覆盖；否则两个半区间都能被有限多个 $U_\lambda$ 覆盖，从而 $[a,b]$ 也能被有限多个 $U_\lambda$ 覆盖，矛盾。记这个半区间为

(151)

递归地，若已构造出闭区间

(152)

且 $I_n$ 不能被有限多个 $U_\lambda$ 覆盖，则将其二等分，至少有一个半区间仍不能被有限多个 $U_\lambda$ 覆盖，记为

(153)

于是得到一列闭区间，满足

(154)

对每个 $n$ ，令 $x_n$ 为区间 $I_n$ 的中点，即

(155)

由于

(156)

故 $\lbrace x_n \rbrace$ 有界。并且对任意 $m>n$ ，由于 $I_m\subseteq I_n$ ，所以 $x_n,x_m\in I_n$ ，从而

(157)

因此，对任意 $\varepsilon>0$ ，只需取 $N$ 充分大，使得

(158)

则对任意 $m,n\ge N$ ，不妨设 $m\ge n$ ，有

(159)

故 $\lbrace x_n \rbrace$ 是柯西列。

由柯西收敛准则，存在 $x\in\mathbb{R}$ ，使得

(160)

由于每个 $I_n$ 都是闭区间，且对任意 $m\ge n$ ，有 $x_m\in I_n$ ，令 $m\to\infty$ 可得

(161)

因此

(162)

由于 $\lbrace U_\lambda\rbrace _{\lambda\in\Lambda}$ 覆盖 $[a,b]$ ，存在某个 $\lambda_0\in\Lambda$ 使得

(163)

又因为 $U_{\lambda_0}$ 是开集，所以存在 $\varepsilon>0$ 使得

(164)

由

(165)

以及 $x\in I_n$ ，可取 $N$ 充分大，使得

(166)

于是 $I_N$ 可被单个开集 $U_{\lambda_0}$ 覆盖，从而可被有限多个 $U_\lambda$ 覆盖，这与 $I_N$ 的构造矛盾。

矛盾表明原假设不成立。因此， $[a,b]$ 的任意开覆盖都存在有限子覆盖。

3.6. 柯西收敛准则 $\iff$ 聚点定理

3.6.1 聚点定理两个表述的等价性

我们先证明聚点定理的两个表述是等价的。

Proof（Theorem 7.1 $\Rightarrow$ Theorem 7.2） 设 Theorem 7.1 成立，即 $\mathbb{R}$ 中每个有界无限子集至少有一个聚点。设实数列 $\lbrace x_n \rbrace$ 有界。下面证明 $\lbrace x_n \rbrace$ 有收敛子列。

记

(167)

由于 $\lbrace x_n \rbrace$ 有界，故 $E$ 有界。

先分两种情形讨论。

情形 1 $E$ 为有限集。
由于数列 $\lbrace x_n \rbrace$ 取值只来自有限集，而项数无限，依据抽屉原理，必存在某个 $a\in E$ ，使得

(168)

为无限集。于是可以取严格递增的自然数序列 $(n_k)_{k\ge 1}$ ，使得

(169)

故

(170)

情形 2 $E$ 为无限集。
由 Theorem 7.1， $E$ 至少有一个聚点，记为 $x\in\mathbb{R}$ 。由聚点的定义，

(171)

下面递归构造一个子列收敛到 $x$ 。

对 $k=1,2,\dots$ ，由于 $x$ 是 $E$ 的聚点，存在某个指标 $n_k$ ，使得

(172)

并且可要求

(173)

这是因为对任意 $m\in\mathbb{N}$ ，集合

(174)

是有限集，不可能在每个邻域内都提供与 $x$ 任意接近的无限多项；更直接地说，若某个邻域中只有有限多个满足条件的指标，则去掉这些有限指标后，仍可由聚点定义在更小邻域中找到新的项。于是可递归选出严格递增的 $\lbrace n_k\rbrace$ ，使得

(175)

因此

(176)

故任意有界实数序列都有收敛子列。

Proof（Theorem 7.2 $\Rightarrow$ Theorem 7.1） 设 Theorem 7.2 成立，即任意有界实数序列都有收敛子列。设 $E\subseteq \mathbb{R}$ 为有界无限集。下面证明 $E$ 至少有一个聚点。

由于 $E$ 为无限集，可从中取互不相同的点构成数列 $\lbrace x_n \rbrace_{n\ge 1}$ ，满足

(177)

因为 $E$ 有界，所以数列 $\lbrace x_n \rbrace$ 有界。由 Theorem 7.2，存在严格递增的自然数序列 $\lbrace n_k\rbrace$ 以及某个 $x\in\mathbb{R}$ ，使得

(178)

下面证明 $x$ 是 $E$ 的一个聚点。

任取 $\varepsilon>0$ 。由

(179)

存在 $K\in\mathbb{N}$ ，使得当 $k\ge K$ 时，

(180)

于是

(181)

又由于各 $x_{n_k}$ 两两不同，因此总可以取某个 $k\ge K$ 使得

(182)

并且

(183)

故

(184)

由于 $\varepsilon>0$ 任意，故 $x$ 是 $E$ 的聚点。

3.6.2. 柯西收敛准则 $\iff$ Bolzano–Weierstrass 定理

Proof（Theorem 6 $\Rightarrow$ Theorem 7.2） 设实数列 $\lbrace x_n \rbrace$ 有界。下面证明 $\lbrace x_n \rbrace$ 存在收敛子列。

由前面已经证明的 Theorem 5 $\Rightarrow$ Theorem 4 以及 Theorem 4 $\Rightarrow$ Theorem 3，可知有限覆盖定理可推出区间套定理，再推出单调有界原理。又由 Theorem 6 $\Rightarrow$ Theorem 5，故 Theorem 6 可推出 Theorem 3。

现在在闭区间 $[a,b]$ 中包含该数列全部项，即

(185)

将 $[a,b]$ 二等分，至少有一个半区间包含数列中无穷多项，记该半区间为 $I_1$ 。再将 $I_1$ 二等分，至少有一个半区间仍包含数列中无穷多项，记为 $I_2$ 。如此递归构造，可得一列闭区间

(186)

满足

(187)

并且每个 $I_n$ 都包含数列 $\lbrace x_n \rbrace$ 的无穷多项。

对每个 $n$ ，从 $I_n$ 中选取一个数列项 $x_{m_n}$ ，使得

(188)

这是可行的，因为每个 $I_n$ 都包含无穷多项，所以在已经选定有限多个指标之后，仍可在 $I_n$ 中找到指标更大的项。

于是，对任意固定的 $p$ ，当 $n\ge p$ 时，由

(189)

可知

(190)

因此当 $m,n\ge p$ 时，

(191)

从而

(192)

任取 $\varepsilon>0$ ，取 $p$ 充分大，使得

(193)

则对任意 $m,n\ge p$ ，有

(194)

故子列 $(x_{m_n})$ 是柯西列。

由 Theorem 6，柯西列必收敛，因此 $(x_{m_n})$ 收敛。故任意有界实数序列都有收敛子列。

Proof（Theorem 7.2 $\Rightarrow$ Theorem 6） 设实数列 $\lbrace x_n \rbrace$ 为柯西列。下面证明 $\lbrace x_n \rbrace$ 收敛。

首先证明 $\lbrace x_n \rbrace$ 有界。取 $\varepsilon=1$ ，则存在 $N\in\mathbb{N}$ ，使得对任意 $m,n\ge N$ ，

(195)

固定 $m=N$ ，则对任意 $n\ge N$ ，

(196)

故

(197)

再与前有限多项合并可知 $\lbrace x_n \rbrace$ 有界。

由 Theorem 7.2，存在子列 $(x_{n_k})_{k\ge 1}$ 及某个 $x\in\mathbb{R}$ ，使得

(198)

下面证明整个数列都收敛到 $x$ 。

任取 $\varepsilon>0$ 。由 $\lbrace x_n \rbrace$ 为柯西列，存在 $N_1\in\mathbb{N}$ ，使得对任意 $m,n\ge N_1$ ，

(199)

又由于

(200)

存在 $K\in\mathbb{N}$ ，使得当 $k\ge K$ 时，

(201)

再取 $k$ 足够大，使得

(202)

且

(203)

于是对任意 $n\ge N_1$ ，有

(204)

因此

(205)

故任意柯西实数列都收敛。

3.7. 聚点定理 $\iff$ 戴德金分割原理

Proof（Theorem 1 $\Rightarrow$ Theorem 7(a)） 设 $E\subseteq \mathbb{R}$ 为有界无限集。定义

是 有 限 集 (206)

是 无 限 集 (207)

下面证明 $(A,B)$ 构成 $\mathbb{R}$ 的一个戴德金分割。

首先， $A\neq\varnothing$ 。由于 $E$ 有下界，取 $m\in\mathbb{R}$ 使得

(208)

则

(209)

故 $m\in A$ 。

其次， $B\neq\varnothing$ 。由于 $E$ 有上界，取 $M\in\mathbb{R}$ 使得

(210)

于是

(211)

又因 $E$ 是无限集，故

(212)

是无限集，从而 $M+1\in B$ 。

再证 $A\cup B=\mathbb{R}$ 且 $A\cap B=\varnothing$ 。任取 $x\in\mathbb{R}$ ，集合

(213)

或者有限，或者无限，因此 $x\in A\cup B$ ；且不可能同时有限又无限，故 $A\cap B=\varnothing$ 。

最后，若 $a\in A,\ b\in B$ ，则必有 $a<b$ 。否则若 $b\le a$ ，则

(214)

从而

(215)

由于 $a\in A$ ，右边是有限集，于是左边也是有限集，这与 $b\in B$ 矛盾。故 $a<b$ 。

因此， $(A,B)$ 满足戴德金分割原理。由 Theorem 1，存在唯一的 $c\in\mathbb{R}$ ，使得下列两种情况之一成立：

$A=(-\infty,c),\ B=[c,+\infty)$ ；
$A=(-\infty,c],\ B=(c,+\infty)$ 。

下面证明 $c$ 是 $E$ 的一个聚点。

任取 $\varepsilon>0$ 。由于

(216)

由分割的结构可知

(217)

于是

(218)

是有限集，而

(219)

是无限集。因此

(220)

必为无限集，特别地非空。又因为一个集合中至多只有一个点等于 $c$ ，故

(221)

而

(222)

所以

(223)

由于 $\varepsilon>0$ 任意，故 $c$ 是 $E$ 的一个聚点。

Proof（Theorem 7.2 $\Rightarrow$ Theorem 1） 设 $(A,B)$ 是 $\mathbb{R}$ 的一个分割，满足

$A\neq\varnothing,\ B\neq\varnothing$ ；
$A\cup B=\mathbb{R},\ A\cap B=\varnothing$ ；
$\forall a\in A,\ \forall b\in B,\ a<b$ 。

先说明两个简单性质：

若 $x\in A$ 且 $y<x$ ，则 $y\in A$ 。否则若 $y\in B$ ，则由分割条件应有 $x<y$ ，与 $y<x$ 矛盾。
若 $x\in B$ 且 $y>x$ ，则 $y\in B$ 。否则若 $y\in A$ ，则由分割条件应有 $y<x$ ，与 $y>x$ 矛盾。

因此， $A$ 是向下封闭的， $B$ 是向上封闭的。

任取

(224)

由分割条件知

(225)

下面用二分法构造两列数 $\lbrace a_n\rbrace$ 与 $\lbrace b_n\rbrace$ ，满足

$a_n\in A,b_n\in B$ ；
$[a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq[a_n,b_n]$ ；
$\forall n\ge 1$ 都有 $b_n-a_n=\frac{b_1-a_1}{2^{\,n-1}}$ 。

已知 $a_n,b_n$ 后，令

(226)

由于

(227)

分两种情形：

若 $m_n\in A$ ，令

(228)

若 $m_n\in B$ ，令

(229)

于是 $\lbrace a_n\rbrace$ 单调递增， $\lbrace b_n\rbrace$ 单调递减，且

(230)

特别地， $\lbrace a_n\rbrace$ 与 $\lbrace b_n\rbrace$ 都是有界数列。

由 Theorem 7.2，有界数列 $\lbrace a_n\rbrace$ 存在收敛子列。设

(231)

下面证明整个数列 $\lbrace a_n\rbrace$ 都收敛到 $c$ 。

首先，对任意 $n\in\mathbb{N}$ ，都有 $a_n\le c$ 。否则若存在某个 $n_0$ 使得 $a_{n_0}>c$ ，则由 $\lbrace a_n\rbrace$ 单调递增知

(232)

从而子列 $\lbrace a_{n_k}\rbrace$ 的充分后项都严格大于 $c$ ，不可能收敛到 $c$ ，矛盾。

任取 $\varepsilon>0$ 。由

(233)

存在 $K\in\mathbb{N}$ ，使得当 $k\ge K$ 时，

(234)

由于 $\lbrace a_n\rbrace$ 单调递增，故当 $n\ge n_K$ 时，

(235)

于是

(236)

因此

(237)

再由

(238)

可得

(239)

下面证明此 $c$ 就是分割点。

先证：若 $x<c$ ，则 $x\in A$ 。由于 $a_n\to c$ ，存在 $N$ 使得

(240)

又 $a_N\in A$ ，而 $A$ 向下封闭，故 $x\in A$ 。

再证：若 $x>c$ ，则 $x\in B$ 。由于 $b_n\to c$ ，存在 $N$ 使得

(241)

又 $b_N\in B$ ，而 $B$ 向上封闭，故 $x\in B$ 。

因此

(242)

又因 $A\cup B=\mathbb{R}$ 且 $A\cap B=\varnothing$ ，故必有且仅有一种情形成立：

若 $c\in A$ ，则

(243)

若 $c\in B$ ，则

(244)

最后证明唯一性。若另有 $d\in\mathbb{R}$ 也满足同样性质，且 $d\neq c$ ，不妨设 $c<d$ 。取

(245)

则由 $c$ 的分割形式可知 $x\in B$ ，而由 $d$ 的分割形式可知 $x\in A$ ，这与 $A\cap B=\varnothing$ 矛盾。故 $d=c$ 。

因此分割点唯一，Theorem 1 成立。

四、总结

我们完成了七个表述的等价性证明：

因此，这七个表述两两等价，它们从不同角度刻画了实数系的完备性。

表述	核心思想	典型应用
戴德金分割	实数轴无空隙	实数构造、理论基础
确界原理	有界集有确界	证明极限存在
单调有界原理	单调有界数列收敛	递推数列极限
区间套定理	嵌套闭区间有公共点	存在性证明
有限覆盖定理	闭区间紧性	连续函数性质
柯西收敛准则	柯西列收敛	级数收敛性
聚点定理	有界集有聚点	子列收敛性

一、完备性的直观理解

二、七个等价表述

表述一：戴德金分割原理（Dedekind Completeness）

表述二：确界原理（Least Upper Bound Property）

表述三：单调有界原理 (Monotone Convergence Principle)

表述四：区间套定理 (Nested Interval Theorem)

表述五：有限覆盖定理 (Heine–Borel Finite Cover Theorem)

表述六：柯西收敛准则 (Cauchy Convergence Principle)

表述七：聚点定理 (Bolzano–Weierstrass Property)

三、等价性证明

3.1. 戴德金分割原理 确界原理

3.2. 确界原理 单调有界原理

3.3. 单调有界原理 区间套定理

3.4. 区间套定理 有限覆盖定理

3.5. 有限覆盖定理 柯西收敛准则

3.6. 柯西收敛准则 聚点定理

3.6.1 聚点定理两个表述的等价性

3.6.2. 柯西收敛准则 Bolzano–Weierstrass 定理

3.7. 聚点定理 戴德金分割原理

四、总结

3.1. 戴德金分割原理 $\iff$ 确界原理

3.2. 确界原理 $\iff$ 单调有界原理

3.3. 单调有界原理 $\iff$ 区间套定理

3.4. 区间套定理 $\iff$ 有限覆盖定理

3.5. 有限覆盖定理 $\iff$ 柯西收敛准则

3.6. 柯西收敛准则 $\iff$ 聚点定理

3.6.2. 柯西收敛准则 $\iff$ Bolzano–Weierstrass 定理

3.7. 聚点定理 $\iff$ 戴德金分割原理